Toán 9 Tìm GTNN

[Lê Sỹ Thế Anh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: [tex]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2019. Tìm GTNN của: P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}[/tex]

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: [tex]\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2019. Tìm GTNN của: P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}[/tex]

Số dương a,b,c ?????
Ta có:
[tex]\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{(x+y+z)(xyz+x^{3}+y^{3}+z^{3})}{(x+y)(y+z)(x+z)}[/tex]
Mặt khác:
[tex]P\geq 0[/tex] (dễ dàng cm đc)
Dấu "=" khi [TEX]x=y=z[/TEX]
=>[tex]P=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{1}{2}(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x})[/tex]
Nhẹ nhàng áp dụng bđt bunhia:
[TEX]A\geq \frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x+y+z)}=\frac{1}{4}\frac{2019^{2}}{x+y+z}[/TEX]
Để xử lí cái mớ [TEX]x+y+z[/TEX]
Ta áp dụng bđt Cauchy
=>[tex]\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)[/tex]
Tương tự với 2 cái còn lại
=>[tex]\frac{2019}{\sqrt{2}}\geq x+y+z[/tex]
Vậy Pmin =[tex]\frac{1}{4}\frac{2019^{2}}{\frac{2019}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}.2019}{4}[/tex]
Tự tìm dấu bằng mệt quá
Gõ chữ gãy tay

 

[Lê Sỹ Thế Anh]

Ghi sai đề rồi bạn

Số dương a,b,c ?????
Ta có:
[tex]\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{(x+y+z)(xyz+x^{3}+y^{3}+z^{3})}{(x+y)(y+z)(x+z)}[/tex]
Mặt khác:
[tex]P\geq 0[/tex] (dễ dàng cm đc)
Dấu "=" khi [TEX]x=y=z[/TEX]
=>[tex]P=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}=\frac{1}{2}(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x})[/tex]
Nhẹ nhàng áp dụng bđt bunhia:
[TEX]A\geq \frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x+y+z)}=\frac{1}{4}\frac{2019^{2}}{x+y+z}[/TEX]
Để xử lí cái mớ [TEX]x+y+z[/TEX]
Ta áp dụng bđt Cauchy
=>[tex]\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)[/tex]
Tương tự với 2 cái còn lại
=>[tex]\frac{2019}{\sqrt{2}}\geq x+y+z[/tex]
Vậy Pmin =[tex]\frac{1}{4}\frac{2019^{2}}{\frac{2019}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}.2019}{4}[/tex]
Tự tìm dấu bằng mệt quá
Gõ chữ gãy tay

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Ghi sai đề rồi bạn

ờ nhỉ ko để ý
Bạn sửa lại cho đúng đề là đc
vì x=y=z nên thế nào cũng đc mà

 

[Lê Sỹ Thế Anh]

ờ nhỉ ko để ý
Bạn sửa lại cho đúng đề là đc
vì x=y=z nên thế nào cũng đc mà

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
[tex]\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y; \sqrt{2(y^2+z^2)}\geq y+z; \sqrt{2(z^2+x^2)}\geq z+x[/tex] .
=> [tex]P\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x^2}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{x^2+y^2}})[/tex]
Đặt [tex]a=\sqrt{x^2+y^2};b=\sqrt{y^2+z^2};c=\sqrt{z^2+x^2}[/tex]
=> [tex]a+b+c=2019[/tex]
=> [tex]x^2=\frac{a^2-b^2+c^2}{2};y^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2};z^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}[/tex]
=> [tex]P\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^2-b^2+c^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a})=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}-a-b-c)[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có:
[tex]\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}\geq 2(a+b+c)[/tex]
=> [tex]P\geq \frac{a+b+c}{2\sqrt{2}}=\frac{2019}{2\sqrt{2}}[/tex].
Dấu bằng xảy ra <=> x=y=z=[tex]\frac{673}{\sqrt{2}}[/tex]