Toán 9 Tim GTNN

[Lê Sỹ Thế Anh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=1. Tim GTNN cua
P=[tex]\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+a)(c^2+a^2)}[/tex]

 

[Minh Dora]

Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=1. Tim GTNN cua
P=[tex]\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+a)(c^2+a^2)}[/tex]

Swart-xơ:
[tex]\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+a)(c^2+a^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2)}[/tex]
=[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2}=(a^2+b^2+c^2)/2\geq \frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{1}{6}[/tex]

 

[Lê Sỹ Thế Anh]

Dấu bằng xảy ra khi nào bạn?
[tex](a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)[/tex] khi nào?

 

[Minh Dora]

Dấu bằng xảy ra khi nào bạn?
[tex](a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)[/tex] khi nào?

a=b=c=1/3
Lúc nãy có chỗ sai mình vừa ms sửa, bn kiểm tra hộ mk nhé

 

[Ngoc Anhs]

a=b=c=1/3
Lúc nãy có chỗ sai mình vừa ms sửa, bn kiểm tra hộ mk nhé

Sao mình thay a=b=c=1/3 thì biểu thức lại bằng 1/4

 

[Minh Dora]

Sao mình thay a=b=c=1/3 thì biểu thức lại bằng 1/4

Dấu bằng xảy ra khi nào bạn?
[tex](a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)[/tex] khi nào?

Nhận ra là sai r
Để t xem có cách nào sửa k hay phải dùng cách khác

 

[Đỗ Hằng]

Swart-xơ:
[tex]\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+a)(c^2+a^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b)(a^2+b^2)+(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2)}[/tex]
=[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2}=(a^2+b^2+c^2)/2\geq \frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{1}{6}[/tex]

Chỗ mẫu thức phải là (a^2 + b^2+ c^2)(a+b+c) + a^3+ b^3 +c^3

 

[Lê Sỹ Thế Anh]

Ta có:
[tex]\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)} =\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)(x+y)}{(x^2+y^2)(x+y)}=x-y[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}=y-z;\frac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=z-x[/tex]
=> [tex][tex]\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=0. => 2P= \frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y) + \frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)} + \frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}. mà theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: [tex]x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2} =>\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \frac{x^2+y^2}{2(x+y)}\geq \frac{x+y}{4}[/tex]
Tương tự:\frac{y^4+z^4)}{(y^2+z^2)(y+z)\geq \frac{y+z}{4}; \frac{z^4+x^4)}{(z^2+x^2)(z+x)\geq \frac{z+x}{4}
=> 2P\geq \frac{x+y+z}{2} =>P\geq \frac{1}{4}
Dấu bằng xảy ra <=> x=y=z=1/3[/tex][/tex]

 

[Lê Sỹ Thế Anh]

[tex]2P=\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}[/tex]
mà theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
[tex]x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2} =>\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \frac{x^2+y^2}{2(x+y)}\geq \frac{x+y}{4}. Tương tự: \frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}\geq \frac{y+z}{4};\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\geq \frac{z+x}{4}[/tex]

 

[ankhongu]

[tex]2P=\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}[/tex]
mà theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
[tex]x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2} =>\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \frac{x^2+y^2}{2(x+y)}\geq \frac{x+y}{4}. Tương tự: \frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}\geq \frac{y+z}{4};\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\geq \frac{z+x}{4}[/tex]

Tại sao 2P lại như thế vậy ?