Toán 9 Tìm GTNN

[mikhue]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp em câu 5 ạ. Em cảm ơn

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

View attachment 85672 View attachment 85672
Giúp em câu 5 ạ. Em cảm ơn

Cho $n \in \mathbb{N^*}$. Tìm Min: $Q = \sqrt{1 + \dfrac1{1^2} + \dfrac1{2^2}} + \sqrt{1 + \dfrac1{2^2} + \dfrac1{3^2}} + \sqrt{1 + \dfrac1{3^2} + \dfrac1{4^2}} + ... + \sqrt{1 + \dfrac1{n^2} + \dfrac1{(n + 1)^2}} + \dfrac{101}{n + 1}$

Bổ đề: $\sqrt{\dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2} + \dfrac1{c^2}} = \left| \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c \right|$ nếu $a + b + c = 0$.
Áp dụng vào ta được:
$Q = 1 + \dfrac1{1} - \dfrac12 + 1 + \dfrac12 - \dfrac13 + 1 + \dfrac13 - \dfrac14 + ... + 1 + \dfrac1n - \dfrac1{n + 1} + \dfrac{101}{n + 1}$
$= n + 1 - \dfrac1{n + 1} + \dfrac{101}{n + 1} = n + 1 + \dfrac{100}{n+1} \geqslant 20$ (Cauchy)
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow n = 9$.