Tìm GTNN

[kitty2911]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số dương thay đổi a,b,c và abc=1. Tìm GTNN của biểu thức
P= (abc+a+b+c)^2 - (ab+bc+ca)

 

[vipboycodon]

$P = (abc+a+b+c)^2-(ab+bc+ac)$

$= (1+a+b+c)^2-(ab+bc+ac)$

$= 1+2(a+b+c)+(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)$

$= 1+2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)$

$= a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)+ab+bc+ac+1$

$\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+2.3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+1 = 13$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$

 

[hien_vuthithanh]

]cho 3 số dương thay đổi a,b,c và abc=1. Tìm GTNN của biểu thức
$P= (abc+a+b+c)^2 - (ab+bc+ca)$

Cách khác :

$P= (abc+a+b+c)^2 - (ab+bc+ca)= (\sum a +1)^2- \dfrac{1}{3}\sum a^2 =\sum a^2 + 2\sum a +1-\sum a^2= \dfrac{2}{3}\sum a^2+2 \sum a +1 $

Ta có $P -13 = (\sum a-3)(\sum a +6) \ge 0$ (luôn đúng ) $\Longrightarrow P \ge 13$

Vì $\sum a +6 >0 $ do $a,b,c >0$

$ a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}=3$ $\Longrightarrow \sum a-3 \ge 0$

Dấu = \Leftrightarrow $ a=b=c=1$

Hoặc kẻ BBT cũng ra min =13