tìm gtnn

[diencochatrieng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm gtnn của P=x+y+z+xz+yz+xy biết x^2+y^2+z^2=1

2/ giải hpt:$$\begin{cases}x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1\\
\sqrt{x+y}=x^2-y\\
\end{cases}$$

 

[dien0709]

tìm gtnn của P=x+y+z+xz+yz+xy biết x^2+y^2+z^2=1

2/ giải hpt:$$\begin{cases}x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1(1)\\
\sqrt{x+y}=x^2-y(2)\\
\end{cases}$$

Bài 2:[TEX]S=x+y>0,P=xy[/TEX]

[TEX](1)=>S^3-2PS+2P-S=0=>S(S^2-1)-2P(S-1)=0=>\left[\begin{S=1}\\{S^2+S-2P=0}[/TEX]

[TEX]+)S=1=>x+y=1=>x=1-y ,(2)=>y^2-3y=0=>\left[\begin{(x;y)=(1;0)}\\{(x;y)=(-2;3)[/TEX]

[TEX]+)S^2+S-2P=0=>x+y+x^2+y^2=0 vn [/TEX],vì x+y>0

 

[eye_smile]

1,Ta có:

$xy+yz+zx=\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\dfrac{(x+y+z)^2-1}{2}$

\Rightarrow $P=x+y+z+\dfrac{(x+y+z)^2-1}{2}=\dfrac{(x+y+z)^2+2(x+y+z)+1-2}{2}=\dfrac{(x+y+z+1)^2-2}{2} \ge -1$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x+y+z=-1;x^2+y^2+z^2=1$

 

[tranvanhung7997]

Cách khác cho câu 1: Đặt $x+y+z=a$ ; $xy+yz+zx=b$
Từ giả thiết $x^2+y^2+z^2=1$ <=> $a^2-2b=1$ <=> $b=\dfrac{a^2-1}{2}$
Ta có $(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=3$ nên $-\sqrt{3} \le a \sqrt{3}$
$P = x+y+z+xy+yz+zx=a+b=a+\dfrac{a^2-1}{2} = f(a)$
Ta có $f'(a)=0 \leftrightarrow a=-1$
Vậy $Min_P = Min_{f(a)} = f(-1)= -1$
Dấu = tại $x+y+z=-1$ và $x^2+ y^2+z^2=1$