tìm gtnn

D

demon311

Kết quả của bạn bằng 8 vì bạn gải mà không chú ý tới điều kiện là $x+y=1$
Bài nó ra bằng 8 thì $x=y=1$ nên nó sai
Đi tắm tí vào giải
 
E

eye_smile

Xin lỗi anh,em giải trc vậy:))

$A=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2+(y^2+\dfrac{1}{y^2})^2$

$=x^4+y^4+\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+4=(x^4+y^4)(1+\dfrac{1}{(xy)^4})+4$

Có: $x^4+y^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2} \ge \dfrac{(\dfrac{(x+y)^2}{2})^2}{2}=\dfrac{1}{8}$

$xy \le \dfrac{1}{4}$


\Rightarrow $A \ge \dfrac{1}{8}.(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4^4}})+4=...$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\dfrac{1}{2}$

p.s:chỗ .... bạn tự tính ra chứ mình hiện giờ không cầm máy tính
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

cho x+y=1;x,y>0.tìm GTNN của BT
$A=(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(y^2+\frac{1}{y^2})^2$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

$A=x^4+y^4+\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+4$

$x^4+y^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2} \ge \dfrac{(x+y)^4}{8}=\dfrac{1}{8}$ (*)

$xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$

Áp dụng (*) và theo Cauchy

$A \ge \dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{x^2y^2}+4$

\Leftrightarrow $A \ge \dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{(\dfrac{1}{4})^2}+4$

\Leftrightarrow $A \ge ......$ (lười tính) :v
 
E

eye_smile

Hoặc làm thế này cũng ngắn hơn:)

$A \ge \dfrac{(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2})^2}{2}$

Có: $x^2+y^2 \ge \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{x^2+y^2}{(xy)^2} \ge \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4^2}}=...$

\Rightarrow $A \ge ....$
 
E

eye_smile

AD BDT Cauchy-Schwarz,có:

$A^2+B^2 \ge \dfrac{(A+B)^2}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $A=B$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom