Toán 12 Tìm GTNN

[anhemilye]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x\geqy\geqz và x+y+z=3 .Tìm GTNN của biểu thức
[tex]P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y[/tex]

 

[vuive_yeudoi]

Từ giả thiết có
$$ 3x \ge x+y+z =3 \ge 3z $$
Suy ra
$$ x \ge 1 \ge z $$
Và
$$ xy -z \ge y-z \ge 0 $$
Lúc đó ta thấy
$$ \left( \frac{x}{z}+\frac{z}{y} \right) - \left( x+\frac{1}{y} \right)=\frac{\left( 1-z\right) \left( xy-z \right)}{yz} \ge 0 $$
Lúc đó
$$ P =\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y \ge x+\frac{1}{y}+3y =\left(y+\frac{1}{y} \right)+ \left( x+2y \right) \ge 2+ \left(x+y+z \right) =2+3=5 $$
Tại $ \displaystyle x=y=z=1 $ thỏa mãn giả thiết và khi đó $ \displaystyle P=5 $.

Vậy nên
$$ \min \ P=5 $$