Tìm GTNN

[ankhang1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho x,y,z>0 thỏa \[x + y + z \le \frac{3}{2}\]. Tìm GTNN của biểu thức:
\[P = \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]

2) x,y>0 thỏa \[x + y \le 1\]. Tìm GTNN của biểu thức:
\[A = xy + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}\]

 

[linh123658]

2 Bài đều đánh giá điểm rơi bđt thức Cauchy:
Bài 1:
Ta có:
$P=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z}+3(\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z})$
$P$\geq$6\sqrt[6]{\dfrac{1}{64}}+3(\dfrac{9}{4(x+y+z)})$\geq$\dfrac{15}{2}$
Dấu $=$ khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

 

[demon311]

2 bài điểm rơi Cauchy, nhưng mình làm khác bạn linh123658
Bài 1:
Áp dụng tính chất: $\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
Ta có:
$P \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z}+\dfrac{9}{x+y+z}=(x+y+z)+\dfrac{9}{x+y+z} \ge x+y+z+\dfrac{9}{4(x+y+z)}+\dfrac{27}{4(x+y+z)} \ge 2\sqrt{\dfrac{9}{4}} + \dfrac{27.2}{4.3} = \dfrac{15}{2}$
$MinA=\dfrac{15}{2}$
\Leftrightarrow $x=y=z=\dfrac{1}{2}$
Bài 2:
Vì $x+y \le 1 $\Rightarrow $2\sqrt{xy} \le 1$ \Rightarrow $xy \le \dfrac{1}{4}$
$A \ge xy+\dfrac{4}{x^2+y^2} \ge xy+\dfrac{4}{2xy} \ge xy+\dfrac{2}{xy} = xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{31}{16xy} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{31}{4}= \dfrac{33}{4}$
$MinA=\dfrac{33}{4}$\Leftrightarrow$x=y=\dfrac{1}{2}$