Tìm Min A=(1-[TEX]\frac{1}{x^2}[/TEX]) (1-[TEX]\frac{1}{y^2}[/TEX])
biết x,y > 0 và x+y=1
Ta có;$A = \left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{y^2}}}} \right) = \left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{y}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{y}} \right)$
$ = \dfrac{{x - 1}}{x}.\dfrac{{y - 1}}{y}.\dfrac{{x + 1}}{x}.\dfrac{{y + 1}}{y}$
$ = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{xy}}.\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}{{xy}} = \dfrac{{xy - x - y + 1}}{{xy}}.\dfrac{{xy + x + y + 1}}{{xy}} = \dfrac{{xy - \left( {x + y} \right) + 1}}{{xy}}.\dfrac{{xy + 2}}{{xy}} = \dfrac{{xy + 2}}{{xy}} = 1 + \dfrac{2}{{xy}}$
Vì x,y>0 nên $\dfrac{2}{{xy}}$ nhỏ nhất $ \leftrightarrow xy$ lớn nhất $ \leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$
$ \to A = 9$
Vậy A nhỏ nhất = 9 tại $x = y = \dfrac{1}{2}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn