Tìm GTNN

N

ngomaithuy93

Thử sức :)

babyknight said:
Biết a+b+c=1 và a,b,c dương. Tìm GTNN của: [TEX]A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A \geq \frac{10}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX]\tex Do (a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\tex Suy ra: \frac{10}{a^2+b^2+c^2} \leq 30 hay A \geq 30[/TEX]
[TEX] GTNN A=30 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
 
0

0915549009

ngomaithuy93 said:
[TEX] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A \geq \frac{10}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX]\tex Do (a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\tex Suy ra: \frac{10}{a^2+b^2+c^2} \leq 30 hay A \geq 30[/TEX]
[TEX] GTNN A=30 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ngược dấu ùi chỵ ơi :):):) bài này theo em hok dùng Cauchy đc :D:D
[TEX]A \geq \frac{10}{a^2+b^2+c^2} \leq 30[/TEX]
 
P

phamduyquoc0906

babyknight said:
Biết a+b+c=1 và a,b,c dương. Tìm GTNN của: [TEX]A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]A=\frac{1}{1-2(ab+bc+ca)}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge{\frac{1}{1-6\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{3}{\sqrt[3]{(abc)^2}}[/TEX]
[TEX]\left{a,b,c>0\\1=a+b+c\ge{3\sqrt[3]{abc}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{0<\sqrt[3]{(abc)^2}\le{\frac{1}{9}}[/TEX]
[TEX]A\ge{\frac{1}{1-6t}+\frac{3}{t}=f(t)[/TEX][TEX]\ \ \ t=\sqrt[3]{(abc)^2}\ \ \ \ t\in(0,\frac{1}{9}][/TEX]
[TEX]f^'(t)=\frac{6}{(1-6t)^2}-\frac{3}{t^2}<0[/TEX][TEX]\ \ \ \forall{t\in(0,\frac{1}{9}][/TEX][TEX]\Rightarrow{f(t):NB[/TEX]
[TEX]A\ge{f(\frac{1}{9})=30[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi :[TEX]\left{a=b=c\\a+b+c=1\\\sqrt[3]{(abc)^2}=\frac{1}{9}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom