Toán 9 Tìm GTNN, GTLN

[HDKmath]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn [tex]x+y\leq 1[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức [tex]P=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\sqrt{1+x^2y^2}[/tex]
Bài 2: Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn x<1, y<1, z<1 và [tex]x^3+y^3+z^3=\frac{3}{2\sqrt{2}} Tìm GTNN của biểu thức P=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}[/tex]
Bài 3:Tìm GTLN của biểu thức: [tex]P=-x+\sqrt{x-2}+2\sqrt{x+1}+10[/tex]
Bài 4: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=3abc.
Tìm GTLN của biểu thức: [tex]F=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}[/tex]

 

[7 1 2 5]

1.[tex]\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\sqrt{1+x^2y^2}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{x^2y^2+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{16}}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{17.\sqrt[17]{x^2y^2.\frac{1}{16^{16}}}}=\frac{2\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{\sqrt{xy}}.\sqrt[17]{xy}=\frac{2.\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{(\sqrt[17]{xy})^{16}}\geq \frac{2.\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{(\sqrt[17]{\frac{(x+y)^2}{4}})^{16}}\geq \frac{2.\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{(\sqrt[17]{\frac{1}{4}})^{16}}=\frac{2\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}}}}{\sqrt[17]{\frac{1}{4^{16}}}}=\frac{2\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}}}}{\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}}}}=2\sqrt{17}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại x = y = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
2.[tex]P=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{x^3}{.x.\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^3}{y.\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^3}{z.\sqrt{1-z^2}}\geq \frac{x^3}{\frac{x^2+1-x^2}{2}}+\frac{y^3}{\frac{y^2+1-y^2}{2}}+\frac{z^3}{\frac{z^2+1-z^2}{2}}=2z^3+2y^3+2z^3=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]

 

[ankhongu]

Bài 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn [tex]x+y\leq 1[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức [tex]P=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\sqrt{1+x^2y^2}[/tex]
Bài 2: Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn x<1, y<1, z<1 và [tex]x^3+y^3+z^3=\frac{3}{2\sqrt{2}} Tìm GTNN của biểu thức P=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}[/tex]
Bài 3:Tìm GTLN của biểu thức: [tex]P=-x+\sqrt{x-2}+2\sqrt{x+1}+10[/tex]
Bài 4: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=3abc.
Tìm GTLN của biểu thức: [tex]F=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}[/tex]

3.
2P = [tex]2P = -2x + 2\sqrt{x - 2} + 4\sqrt{x + 1} + 20 = (-x + 2 + 2\sqrt{x -2} - 1) + (-x - 1 + 4\sqrt{x + 1} - 4) + 24 = -(\sqrt{x - 2} - 1)^2 -(\sqrt{x + 1} - 2)^2 + 24 \leq 24 \Leftrightarrow P \leq 12[/tex]
Dấu "=" <-> x = 3
4.
GT <-> [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3[/tex]
Áp dụng BDT :
[tex]\frac{1}{a + 2b + 3c} = \frac{1}{a + b + b + c + c + c} \leq \frac{1}{36}(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c})[/tex]
Cộng vào ta được Max, từ đó tìm dấu "="

1.[tex]\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\sqrt{1+x^2y^2}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{x^2y^2+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{16}}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{17.\sqrt[17]{x^2y^2.\frac{1}{16^{16}}}}=\frac{2\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{\sqrt{xy}}.\sqrt[17]{xy}=\frac{2.\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{(\sqrt[17]{xy})^{16}}\geq \frac{2.\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{(\sqrt[17]{\frac{(x+y)^2}{4}})^{16}}\geq \frac{2.\sqrt{17}.\sqrt[34]{\frac{1}{2^{64}}}}{(\sqrt[17]{\frac{1}{4}})^{16}}=\frac{2\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}}}}{\sqrt[17]{\frac{1}{4^{16}}}}=\frac{2\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}}}}{\sqrt[17]{\frac{1}{2^{32}}}}=2\sqrt{17}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại x = y = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
2.[tex]P=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{x^3}{.x.\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^3}{y.\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^3}{z.\sqrt{1-z^2}}\geq \frac{x^3}{\frac{x^2+1-x^2}{2}}+\frac{y^3}{\frac{y^2+1-y^2}{2}}+\frac{z^3}{\frac{z^2+1-z^2}{2}}=2z^3+2y^3+2z^3=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]

Bài 1 hình như bạn tính nhầm ở đâu ý, dài dòng mà
Cách 2 (Cần CM thêm 1 bđt khác) :
Có :
[tex]P = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\sqrt{1 + x^2y^2} = \sqrt{\frac{1}{x^2} + y^2} + \sqrt{\frac{1}{y^2} + x^2} \geq \sqrt{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})^2 + (x + y)^2} \geq \sqrt{\frac{16}{(x + y)^2} + (x + y)^2} = \sqrt{\frac{1}{(x + y)^2} + (x + y)^2 + \frac{15}{(x + y)^2}} \geq \sqrt{2+ 15} = \sqrt{17}[/tex]
Phải CM BĐT Mincopxki nha
- Dấu "=" <-> x = y = 1/2