tìm GTNN, GTLN

[hongduyen143]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b, c \geq 0
sao cho a + b + c = 1
tìm GTNN của
[TEX]M = 3(a^2.b^2 + b^2.c^2 + a^2.c^2)+3(ab + bc + ca)+2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}[/TEX]
các bạn thông cảm nhé tại mình ko bjết gõ công thức căn như thế nào, cái đó là căn của cả tổng nhé, các bạn júp mình vs nhé

 

[vivietnam]

bài này là đề thi đại học khối B năm 2010
mình cũng chỉ nhớ là đặt ẩn phụ sau đó dùng phương kháp hàm số để tìm thui
bạn thử làm theo hướng đó xem có được ko

 

[ngomaithuy93]

cho a, b, c \geq 0
sao cho a + b + c = 1
tìm GTNN của
[TEX]M = 3(a^2.b^2 + b^2.c^2 + a^2.c^2)+3(ab + bc + ca)+2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}[/TEX]

• [TEX]a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=(ab+ac+bc)^2-2abc \geq (ab+bc+ac)^2 +\frac{2}{27}[/TEX]
• [TEX]a^2+b^2+c^2=1-2(ab+bc+ac)[/TEX]

[TEX] Nen: M \geq 3(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{9}+3(ab+bc+ac)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ac)}[/TEX]
[TEX] t=ab+bc+ac[/TEX]
[TEX] M \geq 3t^2+\frac{2}{9}+3t+2\sqrt{1-2t}[/TEX]
[TEX]\tex Xet f(t)=3t^2+\frac{2}{9}+3t+2\sqrt{1-2t}[/TEX]
[TEX] f'(t)=6t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}[/TEX]
[TEX] f''(t)=6-\frac{2}{(1-2t)\sqrt{1-2t}}>0 \forall t \in (0;\frac{1}{3})[/TEX]
[TEX] ... \Rightarrow f(t) db \Rightarrow f(t) \geq f(0)=\frac{20}{9}[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

* [TEX]a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=(ab+ac+bc)^2-2abc \geq (ab+bc+ac)^2 +\frac{2}{27}[/TEX]
* [TEX]a^2+b^2+c^2=1-2(ab+bc+ac)[/TEX]

[TEX] Nen: M \geq 3(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{9}+3(ab+bc+ac)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ac)}[/TEX]
[TEX] t=ab+bc+ac[/TEX]
[TEX] M \geq 3t^2+\frac{2}{9}+3t+2\sqrt{1-2t}[/TEX]
[TEX]\tex Xet f(t)=3t^2+\frac{2}{9}+3t+2\sqrt{1-2t}[/TEX]
[TEX] f'(t)=6t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}[/TEX]
[TEX] f''(t)=6-\frac{2}{(1-2t)\sqrt{1-2t}}>0 \forall t \in (0;\frac{1}{3})[/TEX]
[TEX] ... \Rightarrow f(t) db \Rightarrow f(t) \geq f(0)=\frac{20}{9}[/TEX]

Bài giải có qúa nhiều vấn đề:

[TEX]+\forall t \in (0;\frac{1}{3})????[/TEX]
[TEX]+[/TEX][TEX] ... \Rightarrow f(t) db \Rightarrow f(t) \geq f(0)=\frac{20}{9}??????????[/TEX]
[TEX]+[/TEX] Đẳng thức xảy ra ở đâu?

 

[catsanda]

Bài giải có qúa nhiều vấn đề:

[TEX]+\forall t \in (0;\frac{1}{3})????[/TEX]
[TEX]+[/TEX][TEX] ... \Rightarrow f(t) db \Rightarrow f(t) \geq f(0)=\frac{20}{9}??????????[/TEX]
[TEX]+[/TEX] Đẳng thức xảy ra ở đâu?

tớ nghĩ là 0<t\leq1/3
còn f''>0 \Rightarrow hàm số đồng biến thì tớ cũng chẳng hiểu
[TEX] ... \Rightarrow f(t) db \Rightarrow f(t) \geq f(0)=\frac{20}{9}??????????[/TEX] là điều dĩ nhiên

 

[ivory]

• [TEX]a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=(ab+ac+bc)^2-2abc \geq (ab+bc+ac)^2 +\frac{2}{27}[/TEX]
• [TEX]a^2+b^2+c^2=1-2(ab+bc+ac)[/TEX]

[TEX] Nen: M \geq 3(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{9}+3(ab+bc+ac)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ac)}[/TEX]
[TEX] t=ab+bc+ac[/TEX]
[TEX] M \geq 3t^2+\frac{2}{9}+3t+2\sqrt{1-2t}[/TEX]
[TEX]\tex Xet f(t)=3t^2+\frac{2}{9}+3t+2\sqrt{1-2t}[/TEX]
[TEX] f'(t)=6t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}[/TEX]
[TEX] f''(t)=6-\frac{2}{(1-2t)\sqrt{1-2t}}>0 \forall t \in (0;\frac{1}{3})[/TEX]
[TEX] ... \Rightarrow f(t) db \Rightarrow f(t) \geq f(0)=\frac{20}{9}[/TEX]

[TEX]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc\ge (ab+bc+ca)^2+\frac{2}{27}[/TEX] chưa đúng
ta có [tex] 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\ge (ab+bc+ca)^2[/tex]
đẳng thức chỉ khi ba số bằng nhau hoặc có 1 số bằng không, 2 số kia khác không.