Tìm GTNN của:

V

vipboycodon

A = $\dfrac{ab}{(a-1)(b-1)} $

= $\dfrac{(3-b)b}{(3-b-1)(b-1)} $

= $\dfrac{-b^2+3b}{-b^2+3b-2} $

= $1-\dfrac{2}{b^2-3b+2}$

Ta có: $b^2-3b+2 = b^2-2b.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}+2 = (b-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{4} \ge \dfrac{-1}{4}$

$\rightarrow -\dfrac{2}{b^2-3b+2} \ge 8$

$\rightarrow 1-\dfrac{2}{b^2-3b+2} \ge 9$

Theo mình đề phải là tìm min $B = \dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}$

ta sẽ cm: $(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) \ge 9$ hay $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{x+y+z}$ (với $x,y,z, > 0$)

theo bđt cô-si ta có: $x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}$
Nhân vế với vế ta có bđt cần cm.

áp dụng: $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1} \ge \dfrac{9}{a+1+b+1+c+1} \ge \dfrac{3}{2}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom