Toán 9 Tìm GTNN của đa thức P

[nguyenthidiemquynh2011@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0 thỏa mãn: xy+yz+zx=1 tìm GtNN của P=$x^2 + $y^2+ 2$z^2

 

[Lê.T.Hà]

Sử dụng kĩ thuật cân bằng hệ số:
[tex]a^2x^2+a^2y^2\geq 2a^2xy;\, b^2x^2+c^2z^2\geq 2bcxz;\: b^2y^2+c^2z^2\geq 2bcyz[/tex]
Cộng vế với vế: [tex](a^2+b^2)x^2+(a^2+b^2)y^2+2c^2z^2\geq 2(a^2.xy+bc.yz+bc.zx)[/tex] (1)
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=bc & \\ a^2+b^2=c^2 & \end{matrix}\right.[/tex]
Chọn [tex]c=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=b & \\ a^2+b^2=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=b=\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ b^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
Thay ngược giá trị a;b;c vào (1) là được

 

[ankhongu]

Sử dụng kĩ thuật cân bằng hệ số:
[tex]a^2x^2+a^2y^2\geq 2a^2xy;\, b^2x^2+c^2z^2\geq 2bcxz;\: b^2y^2+c^2z^2\geq 2bcyz[/tex]
Cộng vế với vế: [tex](a^2+b^2)x^2+(a^2+b^2)y^2+2c^2z^2\geq 2(a^2.xy+bc.yz+bc.zx)[/tex] (1)
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=bc & \\ a^2+b^2=c^2 & \end{matrix}\right.[/tex]
Chọn [tex]c=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=b & \\ a^2+b^2=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=b=\frac{\sqrt{5}-1}{2} & \\ b^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
Thay ngược giá trị a;b;c vào (1) là được

ở đậy chị cho a^2 là hệ số của cả x^2 và y^2 do x, y bình đẳng nên dự đoán x = y phải không ạ ?