Toán 8 Tìm GTNN của công thức chứa nghiệm của phương trình.

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho phương trình sau: (a;b;c là các hệ số khác nhau)
[tex]x^{4}-ax^{3}+ax^{2}+bx+c = 0[/tex]
Phương trình này có 4 nghiệm khác nhau là [tex]p;q;r;s[/tex].
Tính giá trị nhỏ nhất của [tex]p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}[/tex]?

 

[Minh Tín]

Nè, GTNN này là một số có thể sẽ không đáp ứng ĐKXĐ của [TEX]p^{2} + q^{2} + r^{2} + s^{2} [/TEX] nhưng nó lại đúng đấy!
Đáp án là -1.
Bạn có thể tìm cách giải cho bài này không?

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Hiển nhiên biểu thức là không âm, = -1 sao lại đúng được

 

[Minh Tín]

Cách giải nè:
Theo định lý Viète (Định lý Vi-ét), ta có:
[TEX]p + q + r + s = -(-a) [/TEX] và [TEX]pq + pr + ps + qr + qs + rs = a[/TEX]
Theo phương pháp Niu-tơn, ta có:
[tex]p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}= (p+q+r+s)^{2} - 2(pq+pr+ps+qr+qs+rs) = a^{2}- 2a[/tex]
Ta có: [tex]a^{2}-2a = (a^{2}-2a + 1) - 1 = (a-1)^{2} - 1 \geq -1[/tex] ( Dấu = xảy ra khi a = 1)
Vậy [TEX]p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2} \geq -1 [/TEX] => GTNN [TEX]p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}[/TEX] = -1
P/s: Nếu thấy có gì sai thì sửa giùm mình nhé, thoạt đầu mình cũng nghĩ nó sai sai.
À mà chỉ mình cách chuyển topic này sang toán 9 với

 

[Minh Tín]

Cách giải bài toán này mọi người thấy có vô lí không?

 

[vũ thị phương nga]

bạn sử dụng phương pháp hệ số bất định phân tích đa thức thành nhân tử . tìm nghiệm rồi thay vào thử xem sao ( hệ số bât sđịnh trong nâng cao phát triển toán 9 tập 1 )

 

[Minh Tín]

Cách giải nè:
Theo định lý Viète (Định lý Vi-ét), ta có:
[TEX]p + q + r + s = -(-a) [/TEX] và [TEX]pq + pr + ps + qr + qs + rs = a[/TEX]
Theo phương pháp Niu-tơn, ta có:
[tex]p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}= (p+q+r+s)^{2} - 2(pq+pr+ps+qr+qs+rs) = a^{2}- 2a[/tex]
Ta có: [tex]a^{2}-2a = (a^{2}-2a + 1) - 1 = (a-1)^{2} - 1 \geq -1[/tex] ( Dấu = xảy ra khi a = 1)
Vậy [TEX]p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2} \geq -1 [/TEX] => GTNN [TEX]p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}[/TEX] = -1
P/s: Nếu thấy có gì sai thì sửa giùm mình nhé, thoạt đầu mình cũng nghĩ nó sai sai.
À mà chỉ mình cách chuyển topic này sang toán 12 với

BÀi này hay ở chỗ mình không cần tìm hệ số b;c mà vẫn tìm được GTNN.
Ai tìm được nghiệm cho phương trình này không?