Do a,b,c nguyên dương nên P có thể viết lại thành:
[tex]P=(\frac{1}{1+\frac{b}{a}})^4 + (\frac{1}{1+\frac{c}{b}})^4 + (\frac{1}{1+\frac{a}{b}})^4[/tex]
Đặt [tex]x=\frac{b}{a}, y= \frac{c}{b}, z=\frac{a}{c} \rightarrow xyz=1[/tex]
P = [tex](\frac{1}{1+x})^4 + (\frac{1}{1+y})^4 + (\frac{1}{1+z})^4[/tex] [tex]\geq \frac{1}{3}[\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}]^2[/tex]
Xét [tex]N=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}= \frac{1}{\frac{1}{z}+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2}[/tex]
Chứng minh được [tex]N \geq \frac{3}{4}[/tex] (bạn biến đổi tương đương là được). "=" <-> x=y=z=1
=> [tex]P \geq \frac{1}{3}N^2 \geq \frac{1}{3}.\frac{9}{16} = \frac{3}{16}[/tex]
dấu = khi a=b=c
Vậy GTNN của P là [tex]\frac{3}{16} \Leftrightarrow a=b=c[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
