Toán 9 Tìm GTNN của biểu thức

[Lê.T.Hà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=1
tìm gtnn của biểu thức [tex]P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex]
mọi người giúp em với ạ, em xin cảm ơn

 

[Cao Việt Hoàng]

cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=1
tìm gtnn của biểu thức [tex]P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex]
mọi người giúp em với ạ, em xin cảm ơn

ta có: [tex]a+b+c=1\Rightarrow 1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/tex]
[tex]P=(\frac{a^2}{b}+b)+(\frac{b^2}{c}+c)+(\frac{c^2}{a}+a)+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-1\geq 2a+2b+2c+\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}-1= 2+3-1=4[/tex] (dấu = xảy ra khi a=b=c=[tex]\frac{1}{3}[/tex] )
@ThinhThinh123 xem lại giúp nha!

 

[Kaito Kidㅤ]

ta có: [tex]a+b+c=1\Rightarrow 1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/tex]
[tex]P=(\frac{a^2}{b}+b)+(\frac{b^2}{c}+c)+(\frac{c^2}{a}+a)+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-1\geq 2a+2b+2c+\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}-1= 2+3-1=4[/tex] (dấu = xảy ra khi a=b=c=[tex]\frac{1}{3}[/tex] )
@ThinhThinh123 xem lại giúp nha!

\


Mình thấy chỗ này nó hơi hư cấu bạn biến đổi tương đương lại giúp mình

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

ta có: [tex]a+b+c=1\Rightarrow 1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/tex]
[tex]P=(\frac{a^2}{b}+b)+(\frac{b^2}{c}+c)+(\frac{c^2}{a}+a)+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-1\geq 2a+2b+2c+\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}-1= 2+3-1=4[/tex] (dấu = xảy ra khi a=b=c=[tex]\frac{1}{3}[/tex] )
@ThinhThinh123 xem lại giúp nha!

Dòng đầu tiên bị sai rồi, ngược dấu nha em

 

[Lê.T.Hà]

giúp em với ạ
@Aki-chan @Tiến Phùng @Sweetdream2202 @Học Trò Của Sai Lầm

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

[tex]P\geq \sqrt{3\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq 4[/tex]
GTNN của P là 4 khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
À sai rồi :v Khi nào làm được anh sửa lại

 

[ThinhThinh123]

Ta có: $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+a^2b+a^2c+b^3+b^2c+b^2a+c^3+c^2a+c^2b=(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)$
Lại có: $ \sum a^3+ \sum ab^2 \geq \sum{2a^2b}$
Suy ra: $(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)=> (a^2b+b^2c+c^2a) \leq (a^2+b^2+c^2). \frac{1}{3}$
Ta có:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} = \frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a} \geq \frac {(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)+ \frac{1}{a^2+b^2+c^2}$
Đến đây thì ok rồi nhé!

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Ta có: $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+a^2b+a^2c+b^3+b^2c+b^2a+c^3+c^2a+c^2b=(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)$
Lại có: $ \sum a^3+ \sum ab^2 \geq \sum{2a^2b}$
Suy ra: $(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)=> (a^2b+b^2c+c^2a) \leq (a^2+b^2+c^2). \frac{1}{3}$
Ta có:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} = \frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a} \geq \frac {(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)+ \frac{1}{a^2+b^2+c^2}$
Đến đây thì ok rồi nhé!

Rốt cuộc min bằng mấy vậy e