Toán TÌM GTNN của biểu thức:

[daogiang2002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y=z=9
TÌM GTNN của biểu thức :
$$S=\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}$$

 

[giaphat99]

Cho hàm số $$y= 3x + \frac{1}{2x}$$ với $$x\geqslant 1$$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.

 

[giaphat99]

Bài này khó quá, giải mãi không được
Cho hàm số y= 3x + 1/(2x) với x >=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.

 

[Ann Lee]

Cho hàm số $$y= 3x + \frac{1}{2x}$$ với $$x\geqslant 1$$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.

Có $$y=3x+\frac{1}{2x}=\frac{5}{2}x+(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x})$$
Áp dụng BĐT Cauchy có:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}x.\frac{1}{2x}}=1$$
Vì $$x\geq 1\Rightarrow \frac{5}{2}x\geq \frac{5}{2}$$
$$y\geq 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$$
Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x=\frac{1}{2x}\\ x=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1 (t/m)$$
Vậy...

 

[asdfghjkl23012002]

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y=z=9
TÌM GTNN của biểu thức :
$$S=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\dfrac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\dfrac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}$$

$$Giải:$$
Ta đặt: $$A=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$$
$$B=\dfrac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}$$
$$C=\dfrac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}$$
$$D=\dfrac{y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$$
$$E=\dfrac{z^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}$$
$$F=\dfrac{x^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}$$
Ta có: $$A - D + B - E + C - F = x - y + y - z + z - x =0$$
Suy ra: $$A + B + C = D + E + F$$
Suy ra: $$S= A + B + C = D + E + F =$$ $$\dfrac{1}{2} \left ( A+B+C+D+E+F \right )$$
$$=\dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\dfrac{y^{3}+z^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\dfrac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}} \right ) (1)$$
Ta có:$$\dfrac{x^{3}+ y^{3}}{x^2 + xy + y^2}= \dfrac{x^2 - xy+y^2}{x^2+xy+y^2}(x+y)$$
Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\dfrac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^2+ xy + y^2 } \geq \dfrac{1}{3}$$
$$\Leftrightarrow 3x^{2}- 3xy+3y^2 \geq x^2+xy+y^2$$
$$\Leftrightarrow 2x^{2}- 4xy + 2y^{2} \geq 0$$ => bất đẳng thức đúng
$$\Rightarrow \dfrac{x^2- xy+ y^2}{x^2+xy+y^2}(x+y) \geq \dfrac{x+y}{3}$$
$$S=\dfrac{1}{2} (A+B+C+D+E+F) \geq \dfrac{1}{2}.\dfrac{2(x+y+z)}{3} = 3$$
Dấu bằng xảy ra khi $$x=y=z=3$$
Vậy Min $S = 3$ khi $$x=y=z=3$$