Toán TÌM GTNN của biểu thức:

daogiang2002

Học sinh
Thành viên
7 Tháng năm 2017
8
8
26
22
  • Like
Reactions: daovan2000

giaphat99

Học sinh chăm học
Thành viên
15 Tháng ba 2012
13
0
51
25
Cho hàm số y=3x+12xy= 3x + \frac{1}{2x} với x1x\geqslant 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
 

giaphat99

Học sinh chăm học
Thành viên
15 Tháng ba 2012
13
0
51
25
Bài này khó quá, giải mãi không được
Cho hàm số y= 3x + 1/(2x) với x >=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
 

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Cho hàm số y=3x+12xy= 3x + \frac{1}{2x} với x1x\geqslant 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
y=3x+12x=52x+(12x+12x)y=3x+\frac{1}{2x}=\frac{5}{2}x+(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x})
Áp dụng BĐT Cauchy có:
12x+12x212x.12x=1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}x.\frac{1}{2x}}=1
x152x52x\geq 1\Rightarrow \frac{5}{2}x\geq \frac{5}{2}
y1+52=72y\geq 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}
Dấu "=" xảy ra {12x=12xx=1x=1(t/m)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x=\frac{1}{2x}\\ x=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1 (t/m)
Vậy...
 

asdfghjkl23012002

Học sinh mới
Thành viên
11 Tháng mười 2017
7
2
6
23
Bình Định
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y=z=9
TÌM GTNN của biểu thức :
S=x3x2+xy+y2+y3y2+yz+z2+z3z2+zx+x2S=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\dfrac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\dfrac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}

Gii:Giải:
Ta đặt: A=x3x2+xy+y2A=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}
B=y3y2+yz+z2B=\dfrac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}
C=z3z2+zx+x2C=\dfrac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}
D=y3x2+xy+y2D=\dfrac{y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}
E=z3y2+yz+z2E=\dfrac{z^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}
F=x3z2+zx+x2F=\dfrac{x^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}
Ta có: AD+BE+CF=xy+yz+zx=0A - D + B - E + C - F = x - y + y - z + z - x =0
Suy ra: A+B+C=D+E+FA + B + C = D + E + F
Suy ra: S=A+B+C=D+E+F=S= A + B + C = D + E + F = 12(A+B+C+D+E+F)\dfrac{1}{2} \left ( A+B+C+D+E+F \right )
=12(x3+y3x2+xy+y2+y3+z3y2+yz+z2+z3z2+zx+x2)(1)=\dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\dfrac{y^{3}+z^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\dfrac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}} \right ) (1)
Ta có:x3+y3x2+xy+y2=x2xy+y2x2+xy+y2(x+y)\dfrac{x^{3}+ y^{3}}{x^2 + xy + y^2}= \dfrac{x^2 - xy+y^2}{x^2+xy+y^2}(x+y)
Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau:
x2xy+y2x2+xy+y213\dfrac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^2+ xy + y^2 } \geq \dfrac{1}{3}
3x23xy+3y2x2+xy+y2\Leftrightarrow 3x^{2}- 3xy+3y^2 \geq x^2+xy+y^2
2x24xy+2y20\Leftrightarrow 2x^{2}- 4xy + 2y^{2} \geq 0 => bất đẳng thức đúng
x2xy+y2x2+xy+y2(x+y)x+y3\Rightarrow \dfrac{x^2- xy+ y^2}{x^2+xy+y^2}(x+y) \geq \dfrac{x+y}{3}
S=12(A+B+C+D+E+F)12.2(x+y+z)3=3S=\dfrac{1}{2} (A+B+C+D+E+F) \geq \dfrac{1}{2}.\dfrac{2(x+y+z)}{3} = 3
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3x=y=z=3
Vậy Min S=3S = 3 khi x=y=z=3x=y=z=3
 
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: Ann Lee
Top Bottom