TÌM gtnn của biểu thức

[namngotau]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a+b=1.Tìm MinA=a^4+b^4
2.Cho xy=1.Tìm MinB=|x+y|

 

[buithinhvan77]

1.Cho a+b=1.Tìm MinA=a^4+b^4
2.Cho xy=1.Tìm MinB=|x+y|

1) Chọn điểm rơi a = b = 1/2 nên áp dụng Cosi cho 4 số dương ta có:
[TEX]a^4 + \frac{1}{16}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{16}[/TEX] \geq [TEX] 4.\sqrt[4]{a^4.1/16^3} = \frac{a}{2}[/TEX]
[TEX]b^4 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}[/TEX] \geq [TEX]4. \sqrt[4]{b^4.1/16^3} = \frac{b}{2}[/TEX]
=> [TEX]M + \frac{6}{16} \geq \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}[/TEX]
=> [TEX]M \geq \frac{1}{8}[/TEX]
Dấu "=" khi [TEX]a = b = \frac{1}{2}[/TEX]
2) [TEX]B^2 = (x + y)^2 \geq 4xy = 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow B \leq - 2; B \geq 2[/TEX]
Vì B > 0 nên min B = 2
Dấu "=" khi x = y = 1

 

[williamvictor]

1.Cho a+b=1.Tìm MinA=a^4+b^4

ta Cm bổ đề sau:
[tex]\ (a^2 + b^2) \geq \frac{(a+b)^2}{2} [/tex]
( Hướng dẫn: ta có: [tex]\ (a-b)^2 \geq 0 (\forall a,b) [/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab [/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2 (a^2 + b^2 ) \geq (a+b)^2 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^2 + b^2 ) \geq \frac{(a+b)^2}{2} (dpcm) [/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a-b=0 [tex] \Leftrightarrow a=b [/tex] )
Áp dụng:
Ta có: [tex]\ a^2 + b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2 + b^2\geq \frac{1}{2} [/tex] (do [tex] a+b =1) [/tex]
Ta lại có: [tex]\ a^4 +b^4 \geq \frac{(a^2 + b^2)^2}{2} [/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^4 +b^4 \geq \frac{1}{8}[/tex] (do[tex] a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}) [/tex]
Vậy MinA=[tex]\ \frac{1}{8} [/tex] khi [tex]\left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a+b=1 \end{array} \right. [/tex]
[tex]\Leftrightarrow a=b= \frac{1}{2} [/tex]