Tìm GTNN của biểu thức

[tathuyduong0410]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]A = \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)}+ \frac{1}{b^4(c+1)(a+1)}+ \frac{1}{c^4(a+1)(b+1)}[/TEX]
Với a,b,c> 0 và abc = 1

 

[duynhan1]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: $$A = \sum_{cyc} \frac{b^4c^4}{(b+1)(c+1)} \ge \frac{(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)^2}{ab + bc +ca + 2(a+b+c) + 3} $$
Mà ta có: $b^2c^2 + a^2c^2 + c^2a^2 \ge abc(a+b+c) =a+b+c$
Nên ta có: $$A \ge \frac{(a+b+c)^2 }{ab + bc +ca + 2(a+b+c)+3}$$
Ta sẽ chứng minh: $A \ge \frac34$ tức là cần chứng minh: $$\begin{aligned} &4(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca) + 6(a+b+c) + 9 \\ \Leftrightarrow & 3(a+b+c+1)(a+b+c-3) + \left[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right] \ge 0 \quad \text{(đúng do }a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc} = 3 \text{)} \end{aligned}$$

 

[truongduong9083]

chào bạn

Đặt
[TEX]x = \frac{1}{a}; y = \frac{1}{b}; z = \frac{1}{c} \Rightarrow xyz = 1[/TEX]
Bài toán trở thành tìm GTNN của
[TEX]P = \frac{x^3}{(y+1)(z+1)}+\frac{y^3}{(z+1)(x+1)}+ \frac{z^3}{(x+1)(y+1)}[/TEX]
Ta có
[TEX] \frac{x^3}{(y+1)(z+1)} + \frac{y+1}{8}+\frac{z+1}{8}\geq \frac{3x}{4}[/TEX]
tương tự hai bất đẳng thức còn lại, cộng ba bất đẳng thức lại ta được
[TEX] \frac{x^3}{(y+1)(z+1)}+\frac{y^3}{(z+1)(x+1)}+ \frac{z^3}{(x+1)(y+1)} \geq \frac{(x+y+z)}{2} - \frac{3}{4} \geq 3\frac{\sqrt[xyz]}{2} - \frac{3}{4}=\frac{3}{4} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \geq \frac{3}{4}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1