Tìm GTNN của biểu thức S

T

tayhd20022001


Cho x>0, y>0 và x+y≤1 Tìm GTNN của
S=$\dfrac{1}{x^2+y^2}$+$\dfrac{2}{xy}$
Giải
Ta có :
S=$\dfrac{1}{x^2+y^2}$+$\dfrac{2}{xy}$
\Rightarrow S=$\dfrac{1}{x.x+y.y}$+$\dfrac{2}{xy}$
\Rightarrow S=$\dfrac{1xy}{(x.x+y.y).xy}$+$\dfrac{2.(x.x+y.y)}{xy.(x.x+y.y)}$
\Rightarrow S=$\dfrac{xy}{(x.x+y.y).xy}$+$\dfrac{2.x.x+y.y.2}{xy.(x.x+y.y)}$
\Rightarrow S=$\dfrac{xy+2.x.x+y.y.2}{(x.x+y.y).xy}$
\Rightarrow S=$\dfrac{x.(y+2x)+y.y.2}{(x.x+y.y).xy}$
\Rightarrow Có : x>0, y>0 và x+y≤1
Vậy x2 ≤ 2
- x.(y+2x) ≤ 2
Nhưng ta thấy : x>0, y>0 và x+y≤1 . Nên x;y khác 0 \Rightarrow x;y thuộc Z .
\Rightarrow Ko có số âm + dương = dương .
Vậy GTNN S=$\dfrac{1}{x^2+y^2}$+$\dfrac{2}{xy}$ \Leftrightarrow x là số nguyên âm ; bé hơn 0 và 1 .
 
C

conga222222

$\eqalign{
& \cos i: \cr
& \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right)\left( {\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2xy} \right) \geqslant 2\sqrt {\frac{1}{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)xy}}} *2\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)xy} = 4 \cr
& \to \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} \geqslant \frac{4}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} = \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 4 \cr
& \to S = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} + \frac{3}{{2xy}} + 4xy \geqslant 4 + \frac{3}{{2xy}} + 4xy \cr
& \cos i: \cr
& \frac{1}{{4xy}} + 4xy \geqslant 2 \cr
& \to S \geqslant 4 + \frac{3}{{2xy}} + 4xy = 4 + \frac{1}{{4xy}} + 4xy + \frac{5}{{4xy}} \geqslant 6 + \frac{5}{{4xy}} \cr
& \cos i: \cr
& 1 = x + y \geqslant 2\sqrt {xy} \leftrightarrow 1 \geqslant 4xy \leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \geqslant 4 \cr
& \to S \geqslant 6 + \frac{5}{{4xy}} \geqslant 6 + \frac{5}{4}*4 = 11 \cr
& dau = \leftrightarrow x = y = \frac{1}{2} \cr} $
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom