tim GTLNNN

[moon19]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c la 3 số thực dương ,
thỏa mãn a+b+c=1
Tìm GTNN
T= a^3 + b^3 + 1/4 c^3
mong mọi người help gium em !!!

 

[maxqn]

Ta có
$$\begin{aligned} T = & a^3 + b^3 + \frac{c^3}4 \\ =& (a+b)^3 - 3ab(a+b) + \frac{[1-(a+b)]^3}4 \\ \geq & \frac{(a+b)^3}4 + \frac{[1-(a+b)]^3}4 \end{aligned}$$

Đặt $t = a + b , t \in \left(0;1\right)$ thì ta có
$$T \geq \frac{t^3}4 + \frac{(1-t)^3}4 = f(t)$$

Xét $f(t)$ trên $\left(0;1\right)$ ta có

$$\begin{aligned} & f'(t) = \frac{6t-3}4 \\ \Rightarrow & f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac12 \end{aligned}$$
Suy ra
$$f(t) \geq f{\left( \frac12 \right)} = \frac1{16} , \forall t \in \left(0;1\right)$$
Do đó
$$T \geq \frac1{16}$$

Đẳng thức xảy ra khì $\begin{cases} a = b = \frac14 \\ c = \frac12 \end{cases}$