Cho x,y,z>0 và x+y+z=[tex]\frac{\pi }{2}[/tex]. Tìm GTLN của hàm số: y=[tex]\sqrt{1+tanx.tany} + \sqrt{1+tany.tanz} + \sqrt{1+tanz.tanx}[/tex]
Đặt $x=\frac{a}{2}$$,$ $y=\frac{b}{2}$ và $z=\frac{c}{2}$$.$ Khi đó $:$
$\frac{a}{2}+ \frac{b}{2}+ \frac{c}{2}=\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow tan(\frac{a}{2}+ \frac{b}{2})=tan(\frac{\pi}{2}-\frac{c}{2})=cot\frac{c}{2} \Leftrightarrow \frac{tan\frac{a}{2}+tan\frac{b}{2}}{1-tan\frac{a}{2}.tan\frac{b}{2}}=\frac{1}{tan\frac{c}{2}} \Leftrightarrow (tan\frac{a}{2}+tan\frac{b}{2}).tan\frac{c}{2}= 1-tan\frac{a}{2}.tan\frac{b}{2}$
$\Leftrightarrow tan\frac{a}{2}.tan\frac{b}{2}+ tan\frac{b}{2}.tan\frac{c}{2}+ tan\frac{c}{2}.tan\frac{a}{2}=1$
$y= \sqrt{1+tanx.tany} + \sqrt{1+tany.tanz} + \sqrt{1+tanz.tanx}= \sqrt{1+ tan\frac{a}{2}.tan\frac{b}{2}} + \sqrt{1+ tan\frac{b}{2}.tan\frac{c}{2}} + \sqrt{1+ tan\frac{c}{2}.tan\frac{a}{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$$,$ ta có $:$
$y^{2} \leq (1^{2}+ 1^{2}+ 1^{2})(3+ tan\frac{a}{2}.tan\frac{b}{2}+ tan\frac{b}{2}.tan\frac{c}{2}+ tan\frac{c}{2}.tan\frac{a}{2})=3.(3+1)=3.4=12 \Leftrightarrow y \leq 2\sqrt{3}$
Khi $x=y=z=\frac{\pi}{6}$ $($thỏa mãn điều kiện$)$ thì $y= \sqrt{1+tan\frac{\pi}{6}.tan \frac{\pi}{6}} + \sqrt{1+tan \frac{\pi}{6}.tan \frac{\pi}{6}} + \sqrt{1+tan \frac{\pi}{6}.tan \frac{\pi}{6}}=2\sqrt{3}$
Vậy $Max_{y}=2\sqrt{6}$ khi $x=y=z=\frac{\pi}{6}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
