Toán Tìm GTLN

[huyhoangcnoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện

,tìm GTLN của biểu thức:

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

$P=x^4+y^4+x^2+y^2$.
Theo đề bài:$2x+y \geq 2xy \Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \geq 2$.
Ta có:
$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{y^2} \geq \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y})^2 \geq 2
\\\Rightarrow \dfrac{1}{x^2} \geq 2-\dfrac{4}{y^2}
\\\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{16}{y^4} \geq \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{y^2})^2 \geq 2
\\\Rightarrow \dfrac{1}{x^4} \geq 2-\dfrac{16}{y^4}$
Mặt khác: $x \leq y l\eq 2$
Do đó: $(1-\dfrac{x^2}{y^2})(y^2-4) \leq 0 \Rightarrow y^2 \leq 4+x^2-\dfrac{4x^2}{y^2} \\\Leftrightarrow x^2+y^2 \leq 4+2x^2-\dfrac{4x^2}{y^2}=4+x^2(2-\dfrac{4}{y^2}) \leq 4+x^2.\dfrac{1}{x^2}=5$.
Tương tự $y^4+x^4 \leq 17$.
Do đó $P \leq 22$.
dấu '=' khi $x=1,y=2$