Tìm GTLN

[Nguỵ Quân Tử]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn [tex]\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2[/tex]
Tìm GTLN của biểu thức Q = abc

 

[Ma Long]

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn [tex]\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} +\frac{1}{1 + c} = 2[/tex]
Tìm GTLN của biểu thức Q = abc

Giải:
Áp dụng BĐT cô si:
$\dfrac{1}{1+a}=2-\dfrac{1}{1+b}-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\geq 2\sqrt{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
$\dfrac{1}{1+b}\geq 2\sqrt{\dfrac{ca}{(1+c)(1+a)}}$
$\dfrac{1}{1+c}\geq 2\sqrt{\dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}}$
Nhân theo vế được
$\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 8.\dfrac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
$\Rightarrow abc\leq \dfrac{1}{8}$
$Max Q=\dfrac{1}{8} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}$