Tìm GTLN

[chuhien0]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn $a^2+b^2=a+b$.Tìn GTLN:S=$\dfrac{a}{a+1}$+$\dfrac{b}{b+1}$

 

[kisihoangtoc]

ta có $a+b=a^2+b^2$ \geq $\frac{(a+b)^2}{2}$
\Rightarrow 2 \geq $a+b$
mặt khác $(a+b)^2$ \geq $4ab$ \Rightarrow $ab$ \leq 1
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{a+b+2ab}{ab+a+b+1}$ \leq $\frac{a+b+ab+1}{ab+a+b+1}=1$

 

[trinhminh18]

áp dụng cauchy schwarz có:
$(a+b)^2$ \leq $2(a^2+b^2)$ \Rightarrow a+b \leq 2
$S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1} = 1- \dfrac{1}{a+1}+ 1- \dfrac{b}{b+1} = 2-(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1})$
để tìm GTLN của S thì ta tìm GTNN của $A=(\dfrac{1}{a+1}+ \dfrac{1}{b+1})$
Áp dụng AM-GM có:
$A=(\dfrac{1}{a+1}+ \dfrac{1}{b+1})$ \geq $2\sqrt{\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{1}{(a+b+2)^2/4}} = \dfrac{4}{a+b+2}$ \geq 1
(vì a+b \leq 2)
dấu = xảy ra khi a=b=1