Tìm GTLN

[kitty2911]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y,z cùng thuộc [0;2] và x+y+z=3. Tìm max của P= (x^2) + (y^2) + (z^2)

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $x=1+a, y=1+b, z=1+c$
Khi đó $a+b+c=0$ và $a,b,c\in [-1,1]$
$P=a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)+3=a^2+b^2+c^2+3$
$|a|\le 1 \leftrightarrow a^2\le |a|$. Tương tự ta có $b^2\le |b|$ và $c^2\le |c|$
Suy ta $P\le |a|+|b|+|c|+3$. Giả sử $bc\ge 0$ thì $P=|a|+|b+c|+3=|a|+|0-a|+3=2|a|+3\le 5$

 

[huynhbachkhoa23]

Cách khác: Giả sử $x\ge y\ge z$. Khi đó:
$x^2+y^2+z^2=x(x-y)+(x+y)(y-z)+z(x+y+z)\le 2(x-y)+3(y-z)+3z=x+(x+y)\le 5$
Cách khác nữa: Giả sử $z$ là số lớn nhất trong ba số $x,y,z$ thì $1\le z\le 2$
$x^2+y^2+z^2-(x+y)^2-z^2=-2xy\le 0$ nên $x^2+y^2+z^2\le (x+y)^2+z^2=(3-z)^2+z^2=2z^2-6z+9=2(z-1)(z-2)+5\le 5$