Tìm GTLN

[songdzianhem]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y>0 và xy=1.tìm GTLN của $$A=\dfrac{x}{y^2+x^4}+\dfrac{y}{x^2+y^4}$$

 

[manhnguyen0164]

Bài này làm rồi mà Toàn.

Với mọi x,y ta có: $(x^2-y)^2\ge0 \iff x^4-2x^2y+y^2 \iff x^4+y^2\ge 2x^2y$

suy ra $\dfrac{x}{x^4+y^2}\le\dfrac{x}{2x^2y}=\dfrac{1}{2}$ (do x>0)

Tương tự $\dfrac{y}{x^2+y^4}\le\dfrac{1}{2}$

Cộng theo vế nữa là ok.

 

[dien0709]

Nhân TS và MS phân số đầu cho y và phân số 2 cho x ta có
[TEX]A=\frac{xy}{y^3+x^4y}+\frac{xy}{x^3+xy^4}=\frac{2}{x^3+y^3}[/TEX]
Theo bdt Cô si [TEX]x^3+y^3\geq 2\sqrt{x^3y^3}=2[/TEX][TEX]\Rightarrow A\leq\frac{2}{2}=1[/TEX]Vậy Max A=1 khi x=y=1

 

[huynhbachkhoa23]

Cauchy cho mẫu:

$\dfrac{x}{y^2+x^4} +\dfrac{y}{x^2+y^4} \le \dfrac{x}{2x^2y}+\dfrac{y}{2xy^2}=\dfrac{1}{xy}=1$