Tìm GTLN

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a+b+c=2. Tìm GTLN của $Q= \sqrt{2a+bc} + \sqrt{2b+ac} + \sqrt{2c+ab}$

Chú ý Latex, nhấn "sửa bài" để xem

 

[chaizo1234567]

Đề bài

cho a+b+c=2tim GTNN
$Q=\frac{2}{2a+bc}+\frac{2}{2b+ca}+\frac{2}{2c+ab}$
Đề thế này phải không bạn

 

[kute2linh]

Cho a+b+c=2. Tìm GTLN của Q= \sqrt[2]{2a+bc} + \sqrt[2]{2b+ac} + \sqrt[2]{2c+ab}

Q=[TEX]\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}[/TEX]
Thế này phải không bạn?

 

[kute2linh]

Q=[TEX]\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}[/TEX]
Thế này phải không bạn?

Q=[TEX]\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}[/TEX]
thay $2=a+b+c$ vào $Q$ ta được
$Q$= [TEX]\sqrt{(a+b+c)a+bc}+ \sqrt{(a+b+c)b+ac}+\sqrt{(a+b+c)c+ab}[/TEX]
= [TEX]\sqrt{(a+b)(a+c)} + \sqrt{(a+b)(b+c)} +\sqrt{(c+a)(b+c)}[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được
[TEX]2 \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq a+b+c+a [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq\frac{2a+b+c}{2} [/TEX] (1)
Tương tự
[TEX]\sqrt{(c+b)(a+c)}\leq \frac{2b+a+c}{2}[/TEX] (2)
[TEX]\sqrt{(a+c)(b+c)} \leq \frac{2c+a+b}{2}[/TEX] (3)
cộng theo vế (1) (2) (3)
Q \leq 2(a+b+c)
\Leftrightarrow Q\leq 4
Vậy MaxQ=4

 

[congchuaanhsang]

Cho a+b+c=2. Tìm GTLN của $Q= \sqrt{2a+bc} + \sqrt{2b+ac} + \sqrt{2c+ab}$

Đề thi vào 10 Hà Nội 14-15

Ngoài cách giải của bạn Linh có thể giải như sau:

Áp dụng Bunyakovsky:

$Q^2$ \leq $3[2(a+b+c)+(ab+bc+ca)]=3(ab+bc+ca+4)$

Mà $ab+bc+ca$ \leq $\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{4}{3}$

\Rightarrow $Q^2$ \leq $3(\dfrac{4}{3}+4)=16$

\Leftrightarrow $Q$ \leq $4$

$Q_{max}=4$ \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{2}{3}$