Tìm GTLN

[zinkie]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, x >0. Thoả mãn x+y+z=1 tìm Max của biểu thức D= xyz(x+y)(y+z)(z+x)
Giúp mình với mọi người ơi

 

[h0cmai.vn...tru0ng]

Giải

Cho x, y, x >0. Thoả mãn x+y+z=1 tìm Max của biểu thức D= xyz(x+y)(y+z)(z+x)
Giúp mình với mọi người ơi

đặt $a=x+y+z=1$ , $b=xy+yz+zx$ , $c=xyz$
Ta có :
$(x+y)(y+z)(z+x)=ab-c=b-c$
Vậy ta cần tìm GTLN của $bc-c^{2}$$(1)$
Ta có bất đẳng thức$ a^{3}-4ab+9c$\geq$0$ (tự c/m bdt này nha bạn thế vào là ra)
Hay $b$\leq$\frac{1+9c}{4}$
~~> $(1)$\leq$\frac{5c^{2}+c}{4}$
mà $27c$\leq$a^{3}$ ~~> $c$\leq$\frac{1}{27}$
~~> $(1)$\leq$\frac{8}{729}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1/3$
P/S : Các dạng này có 1 phương pháp chung đó bạn .

 

[braga]

Đơn giản là $Cauchy$:
$$D=xyz(x+y)(y+z)(z+x)\le \left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3.\left(\dfrac{2(x+y+z)}{3}\right)^3=\boxed{\dfrac{8}{729}}$$

 

[cao_thu_online]

có x+y+z=11-z
\Rightarrow x+y=1-z : y+z=1-x; x+z=1-y
\Rightarrow D= xyz(1-z)(1-x)(1-y)
= [x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]
áp dụng Cauchy, có:
x(1-x) \leq [(x+1-x)^2]/4 =\frac{1}{4}