Toán 12 Tìm GTLN

[ducanh1995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là 3 số nguyên dương thay đổi thoả mãn điều kiện:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
[TEX]P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Em bon chen tí:

Giả thiết có thể viết lại thành:
[TEX]xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy^2+x^2t+yt^2=3[/TEX] với [TEX]t=\frac{1}{z}[/TEX]

[TEX]P=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}=\frac{1}{x^4+y^4+t^4}[/TEX]
Áp dụng bđt Cauchy:
[TEX]x^4+y^4+y^4+1 \geq 4xy^2[/TEX]
[TEX]y^4+t^4+t^4+1 \geq 4yt^2[/TEX]
[TEX]t^4+x^4+x^4+1 \geq 4tx^2[/TEX]

Suy ra:[TEX]3(x^4+y^4+t^4 )\geq 4(xy^2+yt^2+tx^2)-3=9[/TEX]

[TEX]P=\frac{1}{x^4+y^4+t^4} \leq frac{1}{3}[/TEX]

Dấu ''='' xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1