Toán 9 Tìm GTLN và GTNN

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]3a^2+2b^2+c^2=6[/TEX]. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

[TEX]P=2(a+b+c)-abc[/TEX]​

@Mộc Nhãn @Hanhh Mingg @Lê.T.Hà @ankhongu

 

[Sầu Thiên Thu]

Áp dụng BĐT [TEX]Cauchy - Schwarz[/TEX] ta có:
[TEX]{\left[ {2\left( {a + b + c} \right) - abc} \right]^2} = {\left[ {a\left( {2 - bc} \right) + 2\left( {b + c} \right)} \right]^2} \leqslant \left( {{a^2} + 2} \right)\left[ {{{\left( {2 - bc} \right)}^2} + 2{{\left( {b + c} \right)}^2}} \right] = \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right)[/TEX]
Lại theo BĐT, ta có:
[TEX]\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) = \dfrac{1}{6}\left( {3{a^2} + 6} \right)\left( {2{b^2} + 4} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \leqslant \dfrac{1}{6}{\left( {\dfrac{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2} + 12}}{3}} \right)^3} \leqslant 36[/TEX]
Tương đương: [TEX]{\left[ {2\left( {a + b + c} \right) - abc} \right]^2} \leqslant 36 \Rightarrow - 6 \leqslant 2\left( {a + b + c} \right) - abc \leqslant 6[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: [TEX]\left\{ \begin{array}{l} a\left( {b + c} \right) = 2 - bc\\ 3{a^2} + 6 = 2{b^2} + 4 = {c^2} + 2 = 6 \end{array} \right.[/TEX]
Tương đương: [TEX]\left[ \begin{array}{l} a = 0;b = 1;c = 2\\ a = 0;b = - 1;c = - 2 \end{array} \right.[/TEX]
Vậy:
[TEX]\begin{array}{l} Min\left[ {2\left( {a + b + c} \right) - abc} \right] = - 6 \Leftrightarrow a = 0;b = - 1;c = - 2\\ Max\left[ {2\left( {a + b + c} \right) - abc} \right] = 6 \Leftrightarrow a = 0;b = 1;c = 2 \end{array}[/TEX]