Tìm GTLN và GTNN của bt C:

[nhahangtuan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTLN và GTNN của bt C:
\[C = \sqrt {5 - x} + \sqrt {x - 1} \]

 

[eye_smile]

ĐK: 1 \leq x \leq 5
* $\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$ \geq $\sqrt{5-x+x-1}=2$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=5 hoặc x=1
* AD Cauchy-Schwarz, có:
${(\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1})^2}$ \leq $2(5-x+x-1)=8$
\Rightarrow $\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$ \leq $2\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=3

 

[s_m_i_l_e]

Xét $C^{2}=4+2\sqrt{(5-x)(x-1)} \leq 4+4=8 ( do \sqrt{(5-x)(x-1)} \leq 5-x+x-1=4_BĐT Cauchy)$
Nên C $\leq 2\sqrt{2}$ ( do C ko âm ) ( dấu = tự tìm nha)
Cũng xét $C^{2}=4+2\sqrt{(5-x)(x-1)} \geq 4 ( do \sqrt{(5-x)(x-1)}\geq0)$
( = khi x=5 hoặc x=1)
Nên $C\geq2$

 

[nhahangtuan]

Tai sao thành ra dc nhu the này ?

* $\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$ \geq $\sqrt{5-x+x-1}=2$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=5 hoặc x=1

 

[nhahangtuan]

Tai sao dấu = xảy ra khi x = 3 vậy ?

\Rightarrow $\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$ \leq $2\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=3[/B][/COLOR][/QUOTE]

 

[theanvenger]

* $\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$ \geq $\sqrt{5-x+x-1}=2$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=5 hoặc x=1

Chứng minh bđt [TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a+b}[/TEX]
Bình phương hai vế, ta có: [TEX]a+b+\sqrt{ab}\geq a+b[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{ab}\geq0[/TEX] (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\sqrt{ab}=0[/TEX] \Leftrightarrow ab=0
(đpcm)
Áp dụng vào trên, thay a bằng 5-x, thay b bằng x-1.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (5-x)(x-1)=0 \Leftrightarrow x=5 hoặc x=1

 

[theanvenger]

\Rightarrow $\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$ \leq $2\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=3[/B][/COLOR]

Dấu bằng trong BĐT Bunhiacopski xảy ra \Leftrightarrow [TEX]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}[/TEX]
ở đây [TEX]a=\sqrt{5-x};b=\sqrt{x-1};x=y=1[/TEX]