Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm GTLN của P=(a+b+c)(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ac+1})
cái này cũng không khó lắm có Phương pháp là ra ngay
Ta có : áp dụng bất đẳng thức cosi
[TEX](ab +1) \geq \sqrt{2} ab[/TEX]
[TEX](bc+1) \geq \sqrt {2} bc[/TEX]
[TEX](ac+1) \geq \sqrt {2} ac[/TEX]
\Rightarrow[TEX](ab+1)(bc+1)(ac+1) \geq 2 \sqrt {2} a^2b^2c^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{(ab+1)(bc+1)(ac+1)} \geq \frac{1}{2\sqrt {2} a^2b^2c^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{1}{(ab+1)(bc+1)(ac+1)}} \geq \sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2\sqrt {2} a^2b^2c^2}}[/TEX]
sau đó nhân cả hai vế với (a+b+c)
\Rightarrow [TEX]\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{1}{(ab+1)(bc+1)(ac+1)}}(a+b+c) \geq \sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2\sqrt {2} a^2b^2c^2}} (a+b+c)[/TEX]
Mà heo BĐT cosi với 3 số không âm
[TEX]\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ac+1} \geq \sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{1}{(ab+1)(bc+1)(ac+1)}[/TEX]
Suy ra [TEX](\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ac+1})(a+b+c) \geq \sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2\sqrt {2} a^2b^2c^2}} (a+b+c) [/TEX]
từ trên suy ra (thấy ngay
) GTLN khi a=b=c=1
GTNN khi a=b=c=0
P/s nhớ trình bày lại nha bạn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn