Cho a,b,c không âm và a+b+c=3. Tìm GTLN,GTNN của P=[tex]a^{2}[/tex] [tex]+b^2+c^2+abc[/tex]
1 cách khác cho phần GTNN
**Trước hết ta chứng minh [TEX]abc \geq \frac{(a+b+c)\left [4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2\right ]}{9}[/TEX] (điều này đúng với mọi a,b,c không âm nhé)
Thật vậy, Vì a,b,c vai trò như nhau nên ta giả sử [TEX]a \geq b \geq c \geq 0[/TEX]
điều cần chứng minh tương đương với :
[tex]9abc \geq (a+b+c)(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) \\ \Leftrightarrow 9abc + a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \geq 6abc +2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)\\ \Leftrightarrow 3abc + a^3+b^3+c^3 \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\ \Leftrightarrow a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0[/tex]
(đây là bất đẳng thức Schur)
[tex]\Leftrightarrow c(a-c)(a-b) + (a-b)(a^2-ac-b^2+bc) \geq 0\\ \Leftrightarrow c(a-c)(a-b)+(a-b)^2(a+b-c) \geq 0[/tex]
(luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi a=b=c hoặc 2 trong 3 số bằng nhau , số còn lại bằng 0
** Áp dụng bài toán trên ta được
[tex]A=a^2+b^2+c^2 + abc \geq a^2+b^2+c^2 + \frac{3\left [ 4(ab+bc+ca) - 9\right]}{9} \\ = a^2+b^2+c^2 + \frac{4}{3} (ab+bc+ca) -3 = (a+b+c)^2 - \frac{2}{3} (ab+bc+ca)-3\\ =6 -\frac{2}{3} (ab+bc+ca) \geq 6 - \frac{2}{9}(a+b+c)^2 = 6-2=4[/tex]
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
