Tìm GTLN,GTNN

[tranhainam1801]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y>0$ và $x+y=2012$
a)Tìm GTLN
$\dfrac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$

b)Tìm GTNN
$(1+\dfrac{2012}{x})^2+(1+ \dfrac{2012}{y})^2$

Học gõ Latex tại đây

 

[thaotran19]

a)Tìm GTLN
$\dfrac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$

$a)\dfrac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$
$=\dfrac{2(x+y)^2+4xy}{(x+y)^2}$
$=2+\dfrac{4xy}{x+y)^2}$\leq$2+\dfrac{(x+y)^2}{(x+y)^2}=3$
Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=1006$

 

[chaudoublelift]

b.

C/m 1 hệ quả đáng để ghi nhớ nhé bạn: $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}≥2.\dfrac{2}{a_1+a_2}=\dfrac{4}{a_1+a_2}$ ($a_1,a_2>0$
Bạn có thể chứng minh như thế này:
Theo $AM-GM$: $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}≥2.\dfrac{1}{\sqrt{a_1.a_2}}$
$AM-GM$ lần nữa: $\sqrt{a_1.a_2}≤a_1+a_2$ nên $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}≥2.\dfrac{2}{a_1+a_2}=\dfrac{4}{a_1+a_2}$
Áp dụng vào bài:
$BCS: (1+\dfrac{2012}{x})^2+(1+\dfrac{2012}{y})^2≥ \dfrac{[1+\dfrac{2012}{x}+1+\dfrac{2012}{y}]^2}{2}=\dfrac{[2+2012(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}]^2}{2}$
Mặt khác, $: \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}≥\dfrac{4}{x+y}=\dfrac{4}{2012}$
Nên $(1+\dfrac{2012}{x})^2+(1+\dfrac{2012}{y})^2≥ \dfrac{(2+2012\dfrac{4}{2012})^2}{2}=18$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1006$