Cho a,b,c lớn hơn bằng 0 và a+b+c=1.Tìm max [tex]\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}[/tex]
BĐT bổ đề: với [TEX]x,y>0[/TEX] ta có [tex]\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
[tex]\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{c+a+b+c}=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{ab}{4}.\left ( \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c} \right )[/tex]
Tương tự ta sẽ có được
[tex]\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\\\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ca+bc}{b+a} \right )\\=\frac{1}{4}\left ( a+b+c \right )\\=\frac{1}{4}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
