Toán 9 Tìm GTLN của [tex]E=\sum \frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}[/tex]

[Cứu mạng@@]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐK:a,b,c>0
Tìm max E=[tex]\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}[/tex]

 

[Ann Lee]

ĐK:a,b,c>0
Tìm max E=[tex]\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}[/tex]

Ta có:
[tex]2E= \frac{2\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+ \frac{2\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+ \frac{2\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\\=3-(\dfrac{a}{a+2\sqrt{bc}}+ \dfrac{b}{b+2\sqrt{ca}}+ \dfrac{c}{c+2\sqrt{ab}})[/tex]
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)\geq 2b\sqrt{ca}+2c\sqrt{ab}+2a\sqrt{bc}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
[tex]\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}+ \frac{b}{b+2\sqrt{ca}}+ \frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\\=\frac{a^2}{a^2+2a\sqrt{bc}}+ \frac{b^2}{b^2+2b\sqrt{ca}}+ \frac{c^2}{c^2+2c\sqrt{ab}}\\\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2a\sqrt{bc}+2b\sqrt{ca}+2c\sqrt{ab}}\\\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}\\=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}\\=1\\\Rightarrow 2E\leq 3-1=2\\\Rightarrow E\leq 1[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]