cho a,b,c thỏa mãn 0<=a<=b<=c<=1
Tìm GTLN của [tex]B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})[/tex]
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} a+1=x\\ b+1=y\\ c+1=z \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow 1\leq x\leq y\leq z\leq 2[/tex] $(*)$
[tex]B=(x+y+z)\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )[/tex]
Từ $(*)$ => [tex]\left\{\begin{matrix} \left ( 1-\frac{x}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{z} \right )\geq 0\\ \left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 1-\frac{z}{y} \right )\geq 0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z} \right )+\left ( \frac{y}{x}+\frac{z}{y} \right )\leq 2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x} \\ \Rightarrow B=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+\left ( \frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right )+\left ( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right )+3\leq 5+2\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right ) \ (1)[/tex]
Dấu = xảy ra khi $x=y$ hoặc $y=z$
Đặt [tex]t=\frac{x}{z}\in \left [ \frac{1}{2};1 \right ][/tex]
Ta có: [tex]\left ( 2-t \right )\left ( \frac{1}{2}-t \right )\leq 0 \\ \Rightarrow t+\frac{1}{t}\leq \frac{5}{2} \ (2)[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]t=\frac{1}{2}[/tex]
Từ $(1)$ và $(2)$ [tex]\Rightarrow B\leq 5+5=10[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=1, z=2[/tex] hoặc [tex]x=1,y=z=2[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
