Toán 9 Tìm GTLN của E=[tex]\frac{1}{2x+y+3}+\frac{1}{2y+z+3}+\frac{1}{2z+x+3}[/tex]

[Cứu mạng@@]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0 và xyz=1.Tìm GTLN của E=[tex]\frac{1}{2x+y+3}+\frac{1}{2y+z+3}+\frac{1}{2z+x+3}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho x,y,z>0 và xyz=1.Tìm GTLN của E=[tex]\frac{1}{2x+y+3}+\frac{1}{2y+z+3}+\frac{1}{2z+x+3}[/tex]

Đặt [tex]x=a^2;y=b^2;z=c^2[/tex] với [TEX]a,b,c>0[/TEX] thì [tex]xyz=1\Leftrightarrow (abc)^2=1\Leftrightarrow abc=1[/tex]
Khi đó [tex]E=\frac{1}{2a^2+b^2+3}+\frac{1}{2b^2+c^2+3}+\frac{1}{2c^2+a^2+3}[/tex]
Có [tex]2a^2+b^3+3=(a^2+b^2)+(a^2+1)+2\geq 2ab+2a+2\\\Rightarrow \frac{1}{2a^2+b^2+3}\leq \frac{1}{2ab+2a+2}[/tex]
Tương tự ta sẽ có được [tex]E\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1} \right )\\=\frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ab} \right )\\=\frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{1+ab+a}+\frac{ab}{a+1+ab} \right )\\=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX] hay [TEX]x=y=z=1[/TEX]

 

[mỳ gói]

Đặt [tex]x=a^2;y=b^2;z=c^2[/tex] với [TEX]a,b,c>0[/TEX] thì [tex]xyz=1\Leftrightarrow (abc)^2=1\Leftrightarrow abc=1[/tex]
Khi đó [tex]E=\frac{1}{2a^2+b^2+3}+\frac{1}{2b^2+c^2+3}+\frac{1}{2c^2+a^2+3}[/tex]
Có [tex]2a^2+b^3+3=(a^2+b^2)+(a^2+1)+2\geq 2ab+2a+2\\\Rightarrow \frac{1}{2a^2+b^2+3}\leq \frac{1}{2ab+2a+2}[/tex]
Tương tự ta sẽ có được [tex]E\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1} \right )\\=\frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ab} \right )\\=\frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{1+ab+a}+\frac{ab}{a+1+ab} \right )\\=\frac{1}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX] hay [TEX]x=y=z=1[/TEX]

cho mình hỏi là tại sao có thể nghĩ ra ý tưởng là đặt a^, b^2 c^2 vậy ?

 

[Cứu mạng@@]

cho mình hỏi là tại sao có thể nghĩ ra ý tưởng là đặt a^, b^2 c^2 vậy ?

đúng thế mình cx tính hỏi

 

[Ann Lee]

cho mình hỏi là tại sao có thể nghĩ ra ý tưởng là đặt a^, b^2 c^2 vậy ?

đúng thế mình cx tính hỏi

Là vì khi thấy giả thiết đề bài cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ thì mình đã suy nghĩ đến HĐT bổ đề: [tex]\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1}=1[/tex]
Mình cũng từng làm qua một bài nhưng là đề yêu cầu chứng minh [tex]\sum \frac{1}{2a^2+b^2+3}\leq \frac{1}{2}[/tex]
Và thấy hệ số tự do của bài mình đã làm và bài bạn kia hỏi khá giống nhau nên nghĩ tới việc đặt ẩn phụ để đưa về bài toán quen thuộc, dễ chứng minh. Chỉ có vậy thôi ._. Phải nói là khá ăn may.