Tìm $GTLN$ của biểu thức $A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}$

[pandahieu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y>0$ thỏa mãn $xy=1$
Tìm $GTLN$ của biểu thức $A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}$

 

[nguyenbahiep1]

[laTEX]y = \frac{1}{x} \\ \\ A = \frac{x}{x^4 + \frac{1}{x^2}}+ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^4} +x^2} \\ \\ \\ A = \frac{2x^3}{x^6+1} \\ \\ \\ x^6 +1 \geq 2x^3 \\ \\ A \leq \frac{2x^3}{2x^3} = 1 \\ \\ \\ GTLN_A = 1 \\ \\ x =y = 1[/laTEX]

 

[eye_smile]

Cách khác: ${\left( {{x^2} - y} \right)^2} \ge 0 \to {x^4} + {y^2} \ge 2{x^2}y$
Chứng minh tương tự, cũng có: $\dfrac{y}{{{y^4} + {x^2}}} \le \dfrac{1}{2}$
$ \to A = \dfrac{x}{{{x^4} + {y^2}}} + \dfrac{y}{{{y^4} + {x^2}}} \le 1$
Dấu "=" xảy ra tại $x = y = 1$