Toán 9 Tìm GTLN của A=13x+3y+2z+13x+2y+3z+12x+3y+3z\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}

Cứu mạng@@

Học sinh chăm học
Thành viên
7 Tháng bảy 2018
326
83
86
23
Cần Thơ
Trung Hưng

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Cho x,y,z>0x,y,z>01x+y+1y+z+1z+x=6\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6
Tìm GTLN của A=13x+3y+2z+13x+2y+3z+12x+3y+3z\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}
BĐT bổ đề: Với a,b,c,d>0a,b,c,d>0 ta có 1a+b+c+d116(1a+1b+1c+1d)\frac{1}{a+b+c+d}\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right ).
Dấu = xảy ra khi a=b=ca=b=c
(BĐT này khá quen thuộc và cách chứng minh cũng dễ, bạn tự làm nhé)
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
A=13x+3y+2z+13x+2y+3z+12x+3y+3z=1(x+y)+(z+x)+(y+z)+(x+y)+1(z+x)+(x+y)+(y+z)+(z+x)+1(z+x)+(y+z)+(x+y)+(y+z)116.(4x+y+4y+z+4z+x)=14.(1x+y+1y+z+1z+x)=32A=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\\=\frac{1}{(x+y)+(z+x)+(y+z)+(x+y)}+\frac{1}{(z+x)+(x+y)+(y+z)+(z+x)}+\frac{1}{(z+x)+(y+z)+(x+y)+(y+z)}\\\leq \frac{1}{16}.\left ( \frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x} \right )\\=\frac{1}{4}.\left ( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} \right )\\=\frac{3}{2}
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y=z=\frac{1}{4}[/TEX]
 
Top Bottom