Toán 9 Tìm GTLN của A=[tex]\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}[/tex]

[Cứu mạng@@]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z>0 Và [tex]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6[/tex]
Tìm GTLN của A=[tex]\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho $x,y,z>0$ Và [tex]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6[/tex]
Tìm GTLN của A=[tex]\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}[/tex]

BĐT bổ đề: Với $a,b,c,d>0$ ta có [tex]\frac{1}{a+b+c+d}\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )[/tex].
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$
(BĐT này khá quen thuộc và cách chứng minh cũng dễ, bạn tự làm nhé)
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
[tex]A=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\\=\frac{1}{(x+y)+(z+x)+(y+z)+(x+y)}+\frac{1}{(z+x)+(x+y)+(y+z)+(z+x)}+\frac{1}{(z+x)+(y+z)+(x+y)+(y+z)}\\\leq \frac{1}{16}.\left ( \frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x} \right )\\=\frac{1}{4}.\left ( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} \right )\\=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y=z=\frac{1}{4}[/TEX]