Toán 9 Tìm GTLN của $A=\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}$

[Cứu mạng@@]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a+b+c=3.Tìm GTLN của A=[tex]\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho $a+b+c=3$.Tìm GTLN của A=[tex]\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}[/tex]

Nếu như đề bài có cho thêm điều kiện [TEX]a,b,c>0[/TEX] thì có thể tham khảo cách dưới đây:
Ta có [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3[/tex]
Suy ra [tex]\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{ab}{2}.\left ( \frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b} \right )[/tex]
Tương tự ta sẽ có được[tex]A\leq \frac{ab}{2}.\left ( \frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b} \right )+\frac{bc}{2}.\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \right )+\frac{ca}{2}.\left ( \frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c} \right )\\=\frac{1}{2}.\left ( \frac{ab+bc}{c+a}+\frac{ab+ca}{c+b}+\frac{bc+ca}{a+b} \right )\\=\frac{1}{2}.\left ( a+b+c \right )\\=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]
Còn nếu như đề bài mà chỉ có cho vẻn vẹn $a+b+c=3$ thì mình chưa nghĩ ra cách chứng minh.