Tìm $I = \lim \limits_{x \to + \infty} \left( \sqrt[n]{(x + 1)(x + 2) \cdots (x + n)} - x \right)$
A. $\dfrac{n + 1}2$
B. $n$
C. $0$
D. $1$
Mọi người giúp em với ạ, em xin cảm ơn
Mình mới học giới hạn, cũng không biết đúng không, mong mn đóng góp ý kiến ạ.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đặt [TEX](x+1)(x+2)\cdots (x+n) = x^n+\dfrac{n(n+1)}{2}x^{n-1} + f(x)=x^n+g(x)[/TEX] với [TEX]f(x)[/TEX] là đa thức bậc nhỏ hơn [TEX]n-1[/TEX]; [TEX]g(x)[/TEX] là đa thức bậc nhỏ hơn [TEX]n[/TEX];
Áp dụng hằng đẳng thức: [TEX]A^n - B^n = (A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B + \cdots + AB^{n-2} + B^{n-1})[/TEX]
Ta có: [TEX]S = \sqrt[n]{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}-x = \dfrac{(x+1)(x+2)\cdots (x+n) - x^n}{\sqrt[n]{x^n+g(x)}^{n-1}+\sqrt[n]{x^n+g(x)}^{n-2}x+\cdots + \sqrt[n]{x^n+g(x)}x^{n-2}+x^{n-1}}[/TEX]
[TEX]S = \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}x^{n-1}+f(x)}{\sqrt[n]{x^n+g(x)}^{n-1}+\sqrt[n]{x^n+g(x)}^{n-2}x+\cdots + \sqrt[n]{x^n+g(x)}x^{n-2}+x^{n-1}}[/TEX]
[TEX]= \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{f(x)}{x^{n-1} }}{\sqrt[n]{1+\dfrac{g(x)}{x^n}}^{n-1}+\sqrt[n]{1+\dfrac{g(x)}{x^n}}^{n-2}+\cdots + \sqrt[n]{1+\dfrac{g(x)}{x^n}}+1}[/TEX]
Vì [TEX]f(x)[/TEX] là đa thức bậc nhỏ hơn [TEX]n-1[/TEX]; [TEX]g(x)[/TEX] là đa thức bậc nhỏ hơn [TEX]n[/TEX] nên
[TEX]\lim{\dfrac{f(x)}{x^{n-1}}} =\lim{\dfrac{g(x)}{x^{n}} }=0[/TEX]
Suy ra [TEX]\lim S = \dfrac{n+1}{2}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
