Nhận thấy dãy trên là dãy không âm.
Xét các trường hợp:
+ [TEX]0 \leq a \leq 2[/TEX]. Bằng quy nạp ta thấy [TEX]u_n \leq 2 \forall n \in \mathbb{N}[/TEX]
Xét [TEX]u_{n+1}-u_n[/TEX] ta thấy [TEX]u_{n+1} \geq u_n \forall n \in \mathbb{N}[/TEX]
Từ đó [TEX](u_n)[/TEX] là dãy tăng và chặn trên nên hội tụ.
+ [TEX]2<a \leq 4[/TEX]. Dùng quy nạp ta chứng minh được [TEX]2< u_n \leq 4 \forall n \in \mathbb{N}[/TEX]
Xét [TEX]u_{n+1}-u_n[/TEX] ta thấy [TEX]u_{n+1} \leq u_n \forall n \in \mathbb{N}[/TEX]
Từ đó [TEX](u_n)[/TEX] giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.
+ [TEX]a >4[/TEX]. Dùng quy nạp ta chứng minh được [TEX]u_n > 4\forall n \in \mathbb{N}[/TEX]
Xét [TEX]u_{n+1}-u_n[/TEX] ta thấy [TEX]u_{n+1}>u_n \forall n \in \mathbb{N}[/TEX].
Từ đó [TEX](u_n)[/TEX] tăng. Giả sử [TEX](u_n)[/TEX] bị chặn thì bị hội tụ. Đặt [TEX]l=\lim u_n(l >4)[/TEX] thì từ giả thiết ta có [TEX]l=\frac{1}{8}l^2+\frac{1}{4}l+1 \Rightarrow l=2 \vee l=4[/TEX](mâu thuẫn) nên dãy [TEX](u_n)[/TEX] không hội tụ.
Vậy điều kiện cần và đủ là [TEX]0 \leq a \leq 4[/TEX].
Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
