a) Sau đây mình giới thiệu một bổ đề rất mạnh trong giới hạn dãy số:
Cho [imath]2[/imath] dãy số dương [imath](x_n),(y_n)[/imath] thỏa mãn rằng tồn tại [imath]q \in (0,1)[/imath] sao cho [imath]x_{n+1}<qx_n+y_n \forall n > N[/imath] nào đó và [imath]\lim y_n=0[/imath].
Khi đó [imath]\lim x_n=0[/imath]
Chứng minh:
Vì [imath]\lim y_n=0[/imath] nên [imath]\forall \epsilon > 0[/imath], tồn tại [imath]N_1 \in \mathbb{N}^*[/imath] sao cho [imath]y_n< \delta = \dfrac{1}{2}(1-q)\epsilon \forall n > N_1[/imath]
Với [imath]n> N_0=\max \lbrace N, N_1 \rbrace[/imath] ta có [imath]x_{n+1}<qx_n+\epsilon[/imath]
[imath]\Rightarrow x_{n+1}<qx_n+\delta <q(qx_{n-1}+\delta ) +\delta = q^2x_{n-1}+ \delta (1+q) < ... < q^{n-N_0} x^{N_0+1} + \delta (1+q+...+q^{n-N_0-1})[/imath]
[imath]\Rightarrow x_{n+1} < q^{n-N_0}x^{N_0+1} +\delta \dfrac{1}{1-q}=q^{n-N_0}x^{N_0+1}+\dfrac{\epsilon }{2}[/imath]
Vì [imath]x_{N_0+1}[/imath] là hằng số nên [imath]\lim q^{n-N_0}x^{N_0+1}=0 \Rightarrow \exists N_2 \in \mathbb{N}^*: q^{n-N_1}x^{N_1+1}<\dfrac{\epsilon }{2}[/imath]
Suy ra [imath]\forall n > \max \lbrace N_0,N_2 \rbrace , x_{n+1} < \dfrac{\epsilon }{2}+\dfrac{\epsilon }{2}=\epsilon[/imath] nên theo định nghĩa ta có [imath]\lim x_n=\lim x_{n+1}=0[/imath]
Quay lại bài toán. Ta có [imath]|x_n-1|=|\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}-1)+\dfrac{2}{n}| < \dfrac{n+2}{3n}|x_{n-1}-1|+\dfrac{2}{n}<\dfrac{1}{2}|x_{n-1}-1|+\dfrac{2}{n} \forall n >4[/imath]
Áp dụng bổ đề trên cho [imath]x_n \to |x_n-1|[/imath] và [imath]y_n=\dfrac{2}{n}[/imath] ta có [imath]\lim |x_n-1|=0[/imath] hay [imath]\lim x_n=1[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
