Toán 10 Tìm giá trị nhỏ nhất

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) $$g(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$$ với $$0 < x < 1.$$
2) $$h(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{1 - x}$$ với $$0 < x < 1.$$

 

[Ngoc Anhs]

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) $$g(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$$ với $$0 < x < 1.$$
2) $$h(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{1 - x}$$ với $$0 < x < 1.$$

1) $$g(x)=\frac{1}{x(1-x)}$$
Theo Cauchy: $$x+(1-x)\geq 2\sqrt{x(1-x)} \\ \Leftrightarrow x(1-x)\leq \frac{1}{4}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x(1-x)}\geq 4 \\ \Leftrightarrow min \ g(x)=4 \ khi \ x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$$
2) Tương tự

 

[amsterdamIMO]

1) $$g(x)=\frac{1}{x(1-x)}$$
Theo Cauchy: $$x+(1-x)\geq 2\sqrt{x(1-x)} \\ \Leftrightarrow x(1-x)\leq \frac{1}{4}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x(1-x)}\geq 4 \\ \Leftrightarrow min \ g(x)=4 \ khi \ x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$$
2) Tương tự

Cho em hỏi câu 2 làm ntn ạ ?

 

[Ngoc Anhs]

Cho em hỏi câu 2 làm ntn ạ ?

quy đồng lên ta được:
$$h(x).x(1-x)=2x+1-x \\ \Leftrightarrow -h(x).x^2+\left [ h(x)-1 \right ].x-1=0$$
Để pt trên có nghiệm thì $$\Delta =\left [ h(x)-1 \right ]^2-4.(-h(x)).(-1)\geq 0$$
Từ bpt này tìm ra min, max

 

[Lê.T.Hà]

$$\frac{1^2}{x}+\frac{\sqrt{2}^{2}}{1-x}\geq \frac{(1+\sqrt{2})^2}{x+1-x}=3+2\sqrt{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$x=\frac{1-x}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\sqrt{2}-1$$