Cho [tex]x> 0, y> 0[/tex] và [tex]x+y=1[/tex].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]P=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )[/tex]
Cho [tex]x> 0, y> 0[/tex] và [tex]x+y=1[/tex].Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [tex]P=\left ( 1+\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )[/tex]
[tex]P=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})=\frac{(x+1)(y+1)}{xy}=\frac{xy+x+y+1}{xy}=\frac{xy+2}{xy}=1+\frac{2}{xy}[/tex]
Ta có: [tex]4xy<(x+y)^2 \forall x,y \Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}[/tex] hay [tex]P\geq 1+\frac{2}{\frac{1}{4}} = 9[/tex]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]