Đặt :[tex]\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=a \\\Rightarrow \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}=a^2-2[/tex]
Thay vào ta có:
[[tex]a^2-2-3a+5 \\=a^2-3a+3 \\=a^2-3a+\dfrac{9}{4}+\frac{3}{4} \\=(a-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}[/tex]
Dấu '=' khi $a=\dfrac{3}{2}$.
Khi thay $a=\dfrac{3}{2}$ vào thì rõ ràng không thể tìm được cặp x,y nào thõa mãn.
Do đó ta nghĩ tới cách khác:
Xét trường hợp $a>0,a<0$ thì rõ ràng $a^2-3a+5$ sẽ đạt min khi $a>0$.
Xét
[tex]a>0 \\\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0 \\\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2 \\\Rightarrow a \geq 2[/tex].Khi đó thì:
[tex]a^2-3a+3 \\=a^2-3a+\frac{9}{4}+\frac{3}{4} \\=(a-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4} \geq (2-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}=1[/tex].
Dấu '=' khi $x=y$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
