Tìm giá trị nhỏ nhất

C

congchuaanhsang

Áp dụng Cauchy ta có:

$P=\dfrac{x}{y}+\sqrt{1+\dfrac{y}{z}}+\sqrt[3]{1+\dfrac{z}{x}}$

\geq $\dfrac{x}{y}+\sqrt{2}\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\dfrac{y}{z}}$

=$\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}})+(1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}})\dfrac{x}{y}+(\sqrt[3]{2}-\dfrac{6}{2\sqrt{2}})\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}$ (1)

Áp dụng Cauchy cho 11 số được:

$\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}})$

\geq $\dfrac{11}{2\sqrt{2}}\sqrt[11]{\dfrac{x}{y}\dfrac{y}{z}\dfrac{z}{x}}=\dfrac{11}{2\sqrt{2}}$ (2)

Mà $x=max{x,y,z}$ nên $\dfrac{x}{y}$ \geq 1 \geq $\dfrac{z}{x}$

và $1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}>0>\sqrt[3]{2}-\dfrac{6}{2\sqrt{2}}$

nên từ (1) và (2) ta có

P \geq $\dfrac{11}{2\sqrt{2}}+(1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}})+(\sqrt[3]{2}-\dfrac{6}{2\sqrt{2}})=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$

$P_{min}=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ \Leftrightarrow $x=y=z$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom